已知等比数列 $ \left\{a_n\right\} $ 为递增数列，且 $ a^2_5=a_{10}$，$2\left(a_n+a_{n+2}\right)=5a_{n+1}$，$n\in \mathbb N^*$，则数列 $ \left\{a_n\right\} $ 的通项公式 $ a_n= $ ．
【难度】
【出处】
2012年高考辽宁卷（理）
【标注】
【答案】
$ 2^n $
【解析】
根据已知条件，可以得到关于首项 $a_1 $ 和公比 $ q$ 的方程组，结合数列的单调性，可以得到一组唯一解，代入等比数列的通项公式即可得到结果．设等比数列的公比为 $ q$，首项为 $ a_1$．根据题意，得 $ 2a_n+2a_nq^2=5a_nq$，得\[2q^2-5q+2=0,\]解得 $ q=2 $ 或 $q=\dfrac 12$．又因为 $ a^2_5=a_{10}>0$，等比数列 $ \left\{a_n\right\} $ 为递增数列，所以 $ q=2 $．
由\[ \left(a_1q^4\right)^2=a_1q^9,\]得 $a_1=q=2$，故 $ a_n=2^n\left(n\in {\mathbb N}^*\right)$．
由\[ \left(a_1q^4\right)^2=a_1q^9,\]得 $a_1=q=2$，故 $ a_n=2^n\left(n\in {\mathbb N}^*\right)$．
题目
答案
解析
备注
