过点 $\left( {\sqrt 2 ,0} \right)$ 引直线 $l$ 与曲线 $y = \sqrt {1 - {x^2}} $ 相交于 $A$，$B$ 两点，$O$ 为坐标原点，当 $\triangle AOB$ 的面积取最大值时，直线 $l$ 的斜率等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考江西卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
由曲线 $y = \sqrt {1 - {x^2}} $ 表示的图形，可分析出 $\triangle AOB$ 的面积取最大值时 $ OA\perp OB $．进而利用点到直线的距离公式即可求出直线 $l$ 的斜率，注意取舍解．因为曲线 $y = \sqrt {1 - {x^2}} $ 为以原点 $ O $ 为圆心，$ 1 $ 为半径的上半圆，如图，
很明显直线 $ l $ 的斜率存在，且斜率 $ k<0$，设直线 $ l $ 方程为 $ y=k\left(x-\sqrt 2\right) $，因为 $|OA|=|OB|=1 $，所以当 $ OA\perp OB $ 时，$\triangle AOB$ 的面积取最大值．此时原点 $ O$ 到直线 $l $ 的距离为 $ \dfrac {\sqrt 2}{2} $，即\[ \dfrac {|-\sqrt 2k|}{\sqrt {1+k^2}}\overset {\left[a\right]}=\dfrac {\sqrt 2}{2} ,\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）解得 $ k= - \dfrac{\sqrt 3 }{3}$，$k= \dfrac{\sqrt 3 }{3} $（舍）．
很明显直线 $ l $ 的斜率存在，且斜率 $ k<0$，设直线 $ l $ 方程为 $ y=k\left(x-\sqrt 2\right) $，因为 $|OA|=|OB|=1 $，所以当 $ OA\perp OB $ 时，$\triangle AOB$ 的面积取最大值．此时原点 $ O$ 到直线 $l $ 的距离为 $ \dfrac {\sqrt 2}{2} $，即\[ \dfrac {|-\sqrt 2k|}{\sqrt {1+k^2}}\overset {\left[a\right]}=\dfrac {\sqrt 2}{2} ,\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）解得 $ k= - \dfrac{\sqrt 3 }{3}$，$k= \dfrac{\sqrt 3 }{3} $（舍）．
题目
答案
解析
备注
