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设 ${\mathrm{i}}$ 是虚数单位，$\overline z $ 是复数 $z$ 的共轭复数，若 $z \cdot \overline z {\mathrm{i}} + 2 = 2z$，则 $z = $  \((\qquad)\)
A: $1 + {\mathrm{i}}$
B: $1 - {\mathrm{i}}$
C: $ - 1 + {\mathrm{i}}$
D: $ - 1 - {\mathrm{i}}$
【难度】
【出处】
2013年高考安徽卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    复数
    >
    复数的运算
    >
    复数的四则运算
  • 知识点
    >
    复数
    >
    复数的运算
    >
    共轭复数
  • 题型
    >
    复数
【答案】
A
【解析】
本题考查复数的相关概念与运算．设 $z =a+b{\mathrm{i}} $，$ a ,b\in {\mathbb{R}}$，则 $\overline z =a-b{\mathrm{i}}$．又因为 $z \cdot \overline z {\mathrm{i}} + 2 = 2z$，所以\[ 2+\left(a^2+b^2\right){\mathrm{i}}\overset {\left[a\right]}=2a+2b{\mathrm{i}} ,\]（推导中用到 $ \left[a\right] $．）所以\[ \begin{cases}2a=2,\\ a^2+b^2=2b.\end{cases} \]解得 $ \begin{cases}a=1,\\ b=1.\end{cases} $ 故 $z = 1 + {\mathrm{i}}$．
题目 答案 解析 备注
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