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在平面直角坐标系中，$O$ 是坐标原点，两定点 $A$，$B$ 满足 $\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = 2$，则点集 $\left\{ {P\left| {\overrightarrow {OP} }\right. = \lambda \overrightarrow {OA} + \mu \overrightarrow {OB} ,\left|\right. \lambda \left|\right. + \left|\right. \mu \left|\right. \leqslant 1,\lambda ,\mu \in {\mathbb{R}}} \right\}$ 所表示的区域的面积是 \((\qquad)\)
A: $2\sqrt 2 $
B: $2\sqrt 3 $
C: $4\sqrt 2 $
D: $4\sqrt 3 $
【难度】
【出处】
2013年高考安徽卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    高中视角下的解析几何
    >
    平面向量与平面直角坐标系
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
  • 题型
    >
    向量
【答案】
D
【解析】
由已知得出 $\triangle {OAB}$ 是边长为 $2$ 的正三角形，点集 $ P $ 表示的区域是以 $OA$ 和 $OB$ 为对角线的一半的矩形．因为 $\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = 2$，所以 $ \triangle OAB $ 是边长为 $ 2 $ 的等边三角形．又因为当 $\lambda$ 和 $\mu$ 均为非负数时，题中点集表示的区域为点 $O$、$A$、$B$ 所围成的三角形；同理，当 $\lambda$ 和 $\mu$ 均负、一正一负、一负一正时，同样表示与 $OAB$ 面积相等的三角形．故所求面积为 $4S_{\triangle OAB}=4\sqrt 3 $．
题目 答案 解析 备注
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