在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字，则称它为递降正整数．那么，递降正整数共有 个（用数字作答）．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(1)
【标注】
【答案】
$1013$
【解析】
设最左边的数字为 $a$，则比 $a$ 小的数字 $a-1, a-2, \ldots ,2,1,0$ 每个只能在 $a
$ 的右边至多出现一次．于是，以 $a$ 为最左边数字的递降正整数的个数等于 $\{a-1,a-2,\ldots, 2,1,0\}$ 的非空子集的个数，即 $2^a-1$．而 $a$ 的取值范围是 $\{1,2,3,\ldots, 9\}$，故递降正整数的个数为$$\sum^9_{a=1}(2^a-1)=\left(\sum^9_{a=1}2^a\right)-9=2^{10}-2-9=1013.$$
$ 的右边至多出现一次．于是，以 $a$ 为最左边数字的递降正整数的个数等于 $\{a-1,a-2,\ldots, 2,1,0\}$ 的非空子集的个数，即 $2^a-1$．而 $a$ 的取值范围是 $\{1,2,3,\ldots, 9\}$，故递降正整数的个数为$$\sum^9_{a=1}(2^a-1)=\left(\sum^9_{a=1}2^a\right)-9=2^{10}-2-9=1013.$$
题目
答案
解析
备注
