若 $\alpha,\beta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，则 $\cos\alpha +\frac{3}{2}\cos\beta -\cos(\alpha+\beta)$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(1)
【标注】
【答案】
$\frac{11}{6}$
【解析】
根据题意，得$$\begin{aligned}
\cos\alpha+\frac{3}{2}\cos\beta-\cos(\alpha+\beta)&=(1-\cos\beta)\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha+\frac{3}{2}\cos\beta\\
&\leqslant \sqrt{(1-\cos\beta)^2+\sin^2\beta}+\frac{3}{2}\cos\beta=\sqrt{2-2\cos\beta}+\frac{3}{2}\cos\beta\\
&=2\sin\frac{\beta}{2}+\frac{3}{2}-3\sin^2\frac{\beta}{2}=-3\left(\sin\frac{\beta}{2}-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{11}{6}\\
&\leqslant \frac{11}{6},\\
\end{aligned}$$等号当 $\sin\frac{\beta}{2}=\frac{1}{3}$，且 $\alpha=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1-\cos\beta}{\sin\beta}=\frac{\pi}{2}-\frac{\beta}{2}=\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{1}{3}$ 时可以取到．
因此，所求的最大值是 $\frac{11}{6}$．
\cos\alpha+\frac{3}{2}\cos\beta-\cos(\alpha+\beta)&=(1-\cos\beta)\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha+\frac{3}{2}\cos\beta\\
&\leqslant \sqrt{(1-\cos\beta)^2+\sin^2\beta}+\frac{3}{2}\cos\beta=\sqrt{2-2\cos\beta}+\frac{3}{2}\cos\beta\\
&=2\sin\frac{\beta}{2}+\frac{3}{2}-3\sin^2\frac{\beta}{2}=-3\left(\sin\frac{\beta}{2}-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{11}{6}\\
&\leqslant \frac{11}{6},\\
\end{aligned}$$等号当 $\sin\frac{\beta}{2}=\frac{1}{3}$，且 $\alpha=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1-\cos\beta}{\sin\beta}=\frac{\pi}{2}-\frac{\beta}{2}=\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{1}{3}$ 时可以取到．
因此，所求的最大值是 $\frac{11}{6}$．
题目
答案
解析
备注
