若多项式 $f(x)=x^3-6x^2+ax+a$ 的三个根 $x_1,x_2,x_3$ 满足 $(x_1-3)^3+(x_2-3)^3+(x_3-3)^3=0$，则实数 $a$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(1)
【标注】
【答案】
$-9$
【解析】
由题设知$$g(t)=f(t+3)=(t+3)^3-6(t+3)^2+a(t+3)+a=t^3+3t^2+(a-9)t+4a-27$$的三个根 $t_1,t_2,t_3$ 满足 $t_1^3+t_2^2+t_3^2=0$．
又由根与系数的关系得$$\left\{\begin{aligned}
&t_1+t_2+t_3=-3,\\
&t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1=a-9,\\
&t_1t_2t_3=-(4a-27).\\
\end{aligned}\right.$$代入$$t_1^3+t_2^3+t_3^3-3t_1t_2t_3=(t_1+t_2+t_3)((t_1+t_2+t_3)^2-3(t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1)),$$得$$3(4a-27)=-3(9-3(a-9)).$$解得 $a=-9$．
又由根与系数的关系得$$\left\{\begin{aligned}
&t_1+t_2+t_3=-3,\\
&t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1=a-9,\\
&t_1t_2t_3=-(4a-27).\\
\end{aligned}\right.$$代入$$t_1^3+t_2^3+t_3^3-3t_1t_2t_3=(t_1+t_2+t_3)((t_1+t_2+t_3)^2-3(t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1)),$$得$$3(4a-27)=-3(9-3(a-9)).$$解得 $a=-9$．
题目
答案
解析
备注
