函数 $f(x)=2\sqrt{x^2+2}+x$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(2)
【标注】
【答案】
$\sqrt{6}$
【解析】
（法一）由柯西不等式，得$$\begin{aligned}
f(x)&=2\sqrt{x^2+2}+x=\sqrt{((\sqrt{3})^2+(-1)^2)((\sqrt{2})^2+x^2)}+x\\
&\geqslant \sqrt{6}-x+x=\sqrt{6}.\\
\end{aligned}$$当 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{-1}{x}$，即 $x=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时，上式等号成立，故 $f(x)$ 的最小值是 $\sqrt{6}$．
（法二）求导得$$f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+2}}+1,$$令 $f'(x)=0$，得 $x=-\frac{\sqrt{6}}{3}$．易知 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$ 上单调递减，在 $\left(-\frac{\sqrt{6}}{3},+\infty\right)$ 上单调递增．故 $f(x)$ 的最小值为 $f(-\frac{\sqrt{6}}{3})=\sqrt{6}$．
f(x)&=2\sqrt{x^2+2}+x=\sqrt{((\sqrt{3})^2+(-1)^2)((\sqrt{2})^2+x^2)}+x\\
&\geqslant \sqrt{6}-x+x=\sqrt{6}.\\
\end{aligned}$$当 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{-1}{x}$，即 $x=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时，上式等号成立，故 $f(x)$ 的最小值是 $\sqrt{6}$．
（法二）求导得$$f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+2}}+1,$$令 $f'(x)=0$，得 $x=-\frac{\sqrt{6}}{3}$．易知 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$ 上单调递减，在 $\left(-\frac{\sqrt{6}}{3},+\infty\right)$ 上单调递增．故 $f(x)$ 的最小值为 $f(-\frac{\sqrt{6}}{3})=\sqrt{6}$．
题目
答案
解析
备注
