从集合 $\{1,2,\ldots,9\}$ 中随机地选取 $4$ 个互不相同的数，则其中任意两个数的和均不等于 $10$ 的概率是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(2)
【标注】
【答案】
$\frac{8}{21}$
【解析】
从集合 $\{1,2,\ldots, 9\}$ 中任取 $4$ 个互不相同的数，共有 $C_9^4=126$ 种选取方法．如果所取的 $4$ 个数中任意两个数的和均不等于 $10$，那么，在 $(1,9), (2,8),(3,7), (4,6)$ 这 $4$ 对数中，每对至多只能取一个数．若取出的 $4$ 个数中没有 $5$，则有 $2^4$ 种取法；若取出的 $4$ 个数中有 $5$，则有 $2^3C_4^3$ 种取法．因此，所求概率为 $\frac{2^4+2^3C_4^3}{126}=\frac{48}{126}=\frac{8}{21}$．
题目
答案
解析
备注
