设实数 $t\in [0,\pi]$．若关于 $x$ 的方程 $\sin(x+t)=1-\sin x$ 无解，则 $t$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(2)
【标注】
【答案】
$(\frac{2\pi}{3},\pi]$
【解析】
原方程为 $2\sin(x+\frac{t}{2})\cos\frac{t}{2}=1$．
当 $\cos\frac{t}{2}=0$ 时，方程无解．
当 $cos\frac{t}{2}\neq 0$ 时，$\sin(x+\frac{t}{2})=\frac{1}{2\cos\frac{t}{2}},$
当且仅当上式右端取值在 $[-1,1]$ 中时，原方程有解．
又 $0\leqslant t\leqslant \pi$，所以 $0\leqslant \cos\frac{t}{2}\leqslant 1$．故当 $0\leqslant \cos\frac{t}{2}<\frac{1}{2}$，即 $\frac{\pi}{3}<\frac{t}{2}\leqslant \frac{\pi}{2}$ 时，$\frac{1}{2\cos\frac{t}{2}}>1$，原方程无解．
所以，$t$ 的取值范围是 $(\frac{2\pi}{3}, \pi]$．
当 $\cos\frac{t}{2}=0$ 时，方程无解．
当 $cos\frac{t}{2}\neq 0$ 时，$\sin(x+\frac{t}{2})=\frac{1}{2\cos\frac{t}{2}},$
当且仅当上式右端取值在 $[-1,1]$ 中时，原方程有解．
又 $0\leqslant t\leqslant \pi$，所以 $0\leqslant \cos\frac{t}{2}\leqslant 1$．故当 $0\leqslant \cos\frac{t}{2}<\frac{1}{2}$，即 $\frac{\pi}{3}<\frac{t}{2}\leqslant \frac{\pi}{2}$ 时，$\frac{1}{2\cos\frac{t}{2}}>1$，原方程无解．
所以，$t$ 的取值范围是 $(\frac{2\pi}{3}, \pi]$．
题目
答案
解析
备注
