给定正整数 $m$，则使得 $m^2+n$ 整除 $n^2+m$ 的最大正整数 $n$ 是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(2)
【标注】
【答案】
$m^4-m^2+m$
【解析】
由题意知 $\frac{n^2+m}{m^2+n}\in\mathbb{Z}$．因为$$\frac{n^2+m}{n+m^2}=\frac{(n+m^2)^2-2m^2(n+m^2)+m^4+m}{n+m^2}=n+m^2-2m^2+\frac{m^4+m}{n+m^2},$$所以 $\frac{m^4+m}{n+m^2}$ 是正整数．从而，$$n+m^2\leqslant m^4+m\Rightarrow n\leqslant m^4-m^2+m.$$经检验知，$n=m^4-m^2+m$ 符合条件．因此，$n$ 的最大值是 $m^4-m^2+m$．
题目
答案
解析
备注
