若椭圆 $x^2+\frac{y^2}{a^2}=1$（$0<a<1$）上离顶点 $(0,a)$ 最远的点恰是另一个顶点 $(0,-a)$，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(2)
【标注】
【答案】
$[\frac{\sqrt{2}}{2},1).$
对于椭圆上的一点 $(x,y)$，它到 $(0,a)$ 的距离为$$x^2+(y-a)^2=1-\frac{y^2}{a^2}+y^2-2ay+a^2=-(\frac{1}{a^2}-1)y^2-2ay+a^2+1.$$
对于椭圆上的一点 $(x,y)$，它到 $(0,a)$ 的距离为$$x^2+(y-a)^2=1-\frac{y^2}{a^2}+y^2-2ay+a^2=-(\frac{1}{a^2}-1)y^2-2ay+a^2+1.$$
【解析】
由题意可知，$-\frac{a^3}{1-a^2}\leqslant -a,$
解得 $a\geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$．
解得 $a\geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$．
题目
答案
解析
备注
