设 $AB=x, AC=y$，则 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}xy$，$\triangle ABC$ 的外接圆半径为 $\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}$．设 $P$ 在平面 $ABC$ 上的投影为 $Q$，则 $PQ=\sqrt{9-\frac{x^2+y^2}{2}}+3$．于是$$\begin{aligned}
V_{\text{三棱锥}P\cdot ABC}&=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot PQ=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}xy\cdot (\sqrt{9-\frac{x^2+y^2}{4}}+3)\\
&\leqslant \frac{1}{3}\cdot \frac{x^2+y^2}{4}(\sqrt{9-\frac{x^2+y^2}{4}}+3)\\
&=\frac{1}{3}t(\sqrt{9-t}+3).\\
\end{aligned}$$这里，$t=\frac{x^2+y^2}{4}, 0<t\leqslant 9$．
考虑函数 $f(t)=t(\sqrt{9-t}+3)$，求导可得$$f'(t)=\sqrt{9-t}-\frac{t}{2\sqrt{9-t}}+3.$$令 $f'(t)=0$，解得 $t=8$．易知 $f(t)$ 在 $(0,8)$ 上单调递增，在 $(0,9)$ 上单调递减．从而，$f(t)$ 在 $t=8$ 时取最大值 $f(8)=32$．因此，三棱锥的体积的最大值为 $\frac{32}{3}$．