若函数 $f(x)=x^2+ax+b$（$a,b\in\mathbb{R}$）在区间 $(0,1]$ 上有零点 $x_0$，则 $ab\left(\frac{x_0}{4}+\frac{1}{9x_0}-\frac{1}{3}\right)$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(3)
【标注】
【答案】
$\frac{1}{144}$
【解析】
由 $x_0^2+ax_0+b=0$，知 $b=-x_0^2-ax_0$．从而$$\begin{aligned}
ab\left(\frac{x_0}{4}+\frac{1}{9x_0}-\frac{1}{3}\right)&=a(-x_0^2-ax_0)\left(\frac{x_0}{4}+\frac{1}{9x_0}-\frac{1}{3}\right)\\
&=\frac{1}{36}a(-x_0-a)(3x_0-2)^2\\
&\leqslant \frac{1}{36}\cdot \frac{x_0^2}{4}\cdot (3x_0-2)^2\\
&=\frac{1}{144}(x_0(3x_0-2))^2\leqslant\frac{1}{144},\\
\end{aligned}$$等号当 $x_0=1, a=-\frac{1}{2}$ 时取得．因此，所求的最大值是 $\frac{1}{144}$．
ab\left(\frac{x_0}{4}+\frac{1}{9x_0}-\frac{1}{3}\right)&=a(-x_0^2-ax_0)\left(\frac{x_0}{4}+\frac{1}{9x_0}-\frac{1}{3}\right)\\
&=\frac{1}{36}a(-x_0-a)(3x_0-2)^2\\
&\leqslant \frac{1}{36}\cdot \frac{x_0^2}{4}\cdot (3x_0-2)^2\\
&=\frac{1}{144}(x_0(3x_0-2))^2\leqslant\frac{1}{144},\\
\end{aligned}$$等号当 $x_0=1, a=-\frac{1}{2}$ 时取得．因此，所求的最大值是 $\frac{1}{144}$．
题目
答案
解析
备注
