令 $\sqrt{1-x^2}=y$，则 $x^2+y^2=1$，原不等式化为 $x^3+y^3\geqslant 1$．故$$\begin{aligned}
0&\leqslant x^3+y^3-x^2-y^2=x^2(x-1)+y^2(y-1)\\
&=(1-y^2)(x-1)+(1-x^2)(y-1)\\
&=-(y^2-1)(x-1)-(x^2-1)(y-1)\\
&=-(1-x)(1-y)(x+y+2).\\
\end{aligned}$$因为 $1=x^2+y^2\geqslant x^2$，所以 $|x|\leqslant 1$．同理，$|y|\leqslant 1$．故 $1\pm x\geqslant 0, 1\pm y\geqslant 0, x+y+2\geqslant 0$．
若 $x+y+2=0$，则 $x+1=y+1=0$，不满足 $x^2+y^2=1$．因此，$x+y+2>0$．于是，不等式化为 $(1-x)(1-y)\leqslant 0$．
但 $1-x\geqslant 0, 1-y\geqslant 0$，故 $(1-x)(1-y)=0$，解得 $(x,y)=(1,0)$ 或 $(0,1)$．
经检验，$x=0$ 或 $1$ 都是原不等式的解．故不等式的解集为 $\{0,1\}$