设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线的左，右焦点，点 $P$ 在第一象限内，且是以 $F_1F_2$ 为直径的圆与双曲线的一个交点，延长 $PF_2$ 与双曲线交于点 $Q$．若 $|PF_1|=|QF_2|$，则直线 $PF_2$ 的斜率为 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(5)
【标注】
【答案】
$-3$
【解析】
不妨设 $|PF_1|=|QF_2|=x$．根据定义有 $|PF_1|-|PF_2|=|QF_1|-|QF_2|=2a$（实轴长）．
故 $|PF_2|=x-2a,|QF_1|=x+2a.$
由条件知 $\angle F_1PQ=90^{\circ}$，则$$x^2+(2x-2a)^2=|PF_1|^2+|PQ|^2=|QF_1|^2=(x+2a)^2$$解得 $x=3a$．从而，直线 $PF_2$ 的斜率$$k=-\tan\angle PF_2F_1=-\frac{|PF_1|}{|PF_2|}=-3.$$
故 $|PF_2|=x-2a,|QF_1|=x+2a.$
由条件知 $\angle F_1PQ=90^{\circ}$，则$$x^2+(2x-2a)^2=|PF_1|^2+|PQ|^2=|QF_1|^2=(x+2a)^2$$解得 $x=3a$．从而，直线 $PF_2$ 的斜率$$k=-\tan\angle PF_2F_1=-\frac{|PF_1|}{|PF_2|}=-3.$$
题目
答案
解析
备注
