现有无穷多个盒子，编号依次为 $1,2,\ldots$．将 $3$ 个小球分别独立地放入这些盒子中，每个小球被放入 $n$ 号盒子的概率为 $\frac{1}{2^n}$（$n=1,2,\ldots$）．那么，存在某个盒子中至少有两个球的概率是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(5)
【标注】
【答案】
$\frac{5}{7}$
【解析】
设 $n$ 号盒子中至少有两个球为事件 $A_n$（$n=1,2,\ldots$），容易知$$P(A_n)=C_3^1\left(\frac{1}{2^n}\right)^2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)+\left(\frac{1}{2^n}\right)^3=\frac{3}{2^{2n}}-\frac{2}{2^{3n}}=\frac{3}{4^n}-\frac{2}{8^n}.$$易知事件 $A_1,A_2,\ldots$ 是两两互斥的，所以所求概率就是这些事件的概率的和，即$$\sum^{\infty}_{n=1}P(A_n)=\sum^{\infty}_{n=1}\left(\frac{3}{4^n}-\frac{2}{8^n}\right)=\frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{4}}-\frac{\frac{2}{8}}{1-\frac{1}{8}}=\frac{5}{7}.$$
题目
答案
解析
备注
