设 $\alpha\in (0,\pi), \beta\in(\pi,2\pi)$．若对任意实数 $x$，都有 $\cos(x+\alpha)+\sin(x+\beta)+\sqrt{2}\cos x=0$，则 $(\alpha,\beta)=$ ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(6)
【标注】
【答案】
$\left(\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right)$
【解析】
已知等式可化为$$\left(\cos\alpha+\sin\beta+\sqrt{2}\right)\cos x+(\cos\beta-\sin\alpha)\sin x=0.$$上式对任意 $x\in \mathbb{R}$ 都成立的充分条件是$$\left\{\begin{aligned}
&\cos\alpha+\sin\beta+\sqrt{2}=0.\\
&\cos\beta-\sin\alpha=0\\
\end{aligned}\right.\Rightarrow \left\{\begin{aligned}&\sin\beta=-\cos\alpha-\sqrt{2},\\
&\cos\beta=\sin\alpha.\\
\end{aligned}\right.$$平方相加并化简得 $\cos\alpha=-\frac{\sqrt{2}}{2}$．因为 $\alpha\in (0,\pi)$．所以 $\alpha=\frac{3\pi}{4}$．从而，$\cos\beta=\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2} $．
又因为 $ \beta\in(\pi,2\pi)$，所以 $ \beta=\frac{7\pi}{4}$．
&\cos\alpha+\sin\beta+\sqrt{2}=0.\\
&\cos\beta-\sin\alpha=0\\
\end{aligned}\right.\Rightarrow \left\{\begin{aligned}&\sin\beta=-\cos\alpha-\sqrt{2},\\
&\cos\beta=\sin\alpha.\\
\end{aligned}\right.$$平方相加并化简得 $\cos\alpha=-\frac{\sqrt{2}}{2}$．因为 $\alpha\in (0,\pi)$．所以 $\alpha=\frac{3\pi}{4}$．从而，$\cos\beta=\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2} $．
又因为 $ \beta\in(\pi,2\pi)$，所以 $ \beta=\frac{7\pi}{4}$．
题目
答案
解析
备注
