从数字 $1,2,3,4,5$ 中随机抽取 $3$ 个数字（允许重复），组成一个三位数．那么，这个三位数的各位数字之和等于 $9$ 的概率是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(6)
【标注】
【答案】
$\frac{19}{125}$
【解析】
从数字 $1,2,3,4,5$ 中随机抽取 $3$ 个数字（允许重复），一共可以组成 $5\times 5\times 5=125$ 个三个数．
其中，各位数字之和为 $9$ 的三位数可以分为三类：
（i）由三个 $3$ 组成，只有 $1$ 种情况；
（ii）有一个 $3$，另两个数为 $1,5$ 或 $2,4$，共有 $2C^1_3A^2_2=12$ 种情况；
（iii）没有 $3$，三个数 $4,4,1$ 或 $2,2,5$，有 $2C^1_3=6$ 种情况．
因此，在这样的三位数中，各位数字之和为 $9$ 的三位数共有 $1+12+6=19$ 个．故所求的概率为 $\frac{19}{125}$．
其中，各位数字之和为 $9$ 的三位数可以分为三类：
（i）由三个 $3$ 组成，只有 $1$ 种情况；
（ii）有一个 $3$，另两个数为 $1,5$ 或 $2,4$，共有 $2C^1_3A^2_2=12$ 种情况；
（iii）没有 $3$，三个数 $4,4,1$ 或 $2,2,5$，有 $2C^1_3=6$ 种情况．
因此，在这样的三位数中，各位数字之和为 $9$ 的三位数共有 $1+12+6=19$ 个．故所求的概率为 $\frac{19}{125}$．
题目
答案
解析
备注
