已知非负数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a$，前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_n=(\sqrt{S_{n-1}}+\sqrt{a})^2$（$n\geqslant 2$）．若 $b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_{n+1}}$，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，则 $T_n=$ ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(6)
【标注】
【答案】
$\frac{4n^2+6n}{2n+1}$
【解析】
由 $S_n=(\sqrt{S_{n-1}}+\sqrt{a})^2$，得 $\sqrt{S_n}=\sqrt{S_{n-1}}+\sqrt{a}$．又 $\sqrt{S_1}=\sqrt{a_1}=\sqrt{a}$，故 $\{S_n\}$ 是以 $\sqrt{a}$ 为首项，以 $\sqrt{a}$ 为公差的等差数列，即$$\sqrt{S_n}=\sqrt{a}+(n-1)\sqrt{a}=n\sqrt{a}.$$从而，$S_n=an^2$．于是$$a_n=S_n-S_{n-1}=an^2-a(n-1)^2=2an-a,$$$$\begin{aligned}
b_n&=\frac{a_{n+1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{2a(n+1)-a}{2an-a}+\frac{2an-a}{2a(n+1)-a}\\
&=\frac{2n+1}{2n-1}+\frac{2n-1}{2n+1}=2+2\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right),\\
\end{aligned}$$因此$$T_n=b_1+b_2+\ldots+b_n=2n+2\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{4n^2+6n}{2n+1}.$$
b_n&=\frac{a_{n+1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{2a(n+1)-a}{2an-a}+\frac{2an-a}{2a(n+1)-a}\\
&=\frac{2n+1}{2n-1}+\frac{2n-1}{2n+1}=2+2\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right),\\
\end{aligned}$$因此$$T_n=b_1+b_2+\ldots+b_n=2n+2\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{4n^2+6n}{2n+1}.$$
题目
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