过双曲线的左焦点 $F_1$ 且与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于点 $A$ 和 $B$．若在双曲线的虚轴所在的直线上存在一点 $C$，使得 $\angle ACB=90^{\circ}$，则双曲线的离心率 $e$ 的最小值等于 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(6)
【标注】
【答案】
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）．它的实轴在 $x$ 轴上，虚轴在 $y$ 轴上，左焦点为 $F_1(-c,0)$（$c=\sqrt{a^2+b^2}$），点 $A$ 和 $B$ 所在直线为 $x=-c$．
由$$\left\{\begin{aligned}
&x=-c,\\
&\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\\
\end{aligned}\right.$$解得 $y_1=\frac{b^2}{a}, y_2=-\frac{b^2}{a}$，则 $A$ 的坐标为 $\left(-c,\frac{b^2}{a}\right)$，$B$ 的坐标为 $\left(-c,-\frac{b^2}{a}\right)$．设点 $C(0,t)$ 在 $y$ 轴上，使得 $\angle ACB=90^{\circ}$，则$$\frac{t-\frac{b^2}{a}}{c}\cdot\frac{t+\frac{b^2}{a}}{c}=-1.$$化简得 $t^2=\frac{b^4}{a^2}-c^2$．
若点 $C$ 存在，则 $t$ 为实数，$\frac{b^4}{a^2}-c^2\geqslant 0$，即 $b^2\geqslant ac$，亦即 $c^2-a^2\geqslant ac$，两边同除以 $a^2$，得 $e^2-1\geqslant e$，即 $e^2-e-1\geqslant 0$．因为 $e>0$，所以 $e\geqslant \frac{\sqrt{5}+1}{2}$．容易验证离心率是 $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ 的双曲线满足要求
设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）．它的实轴在 $x$ 轴上，虚轴在 $y$ 轴上，左焦点为 $F_1(-c,0)$（$c=\sqrt{a^2+b^2}$），点 $A$ 和 $B$ 所在直线为 $x=-c$．
由$$\left\{\begin{aligned}
&x=-c,\\
&\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\\
\end{aligned}\right.$$解得 $y_1=\frac{b^2}{a}, y_2=-\frac{b^2}{a}$，则 $A$ 的坐标为 $\left(-c,\frac{b^2}{a}\right)$，$B$ 的坐标为 $\left(-c,-\frac{b^2}{a}\right)$．设点 $C(0,t)$ 在 $y$ 轴上，使得 $\angle ACB=90^{\circ}$，则$$\frac{t-\frac{b^2}{a}}{c}\cdot\frac{t+\frac{b^2}{a}}{c}=-1.$$化简得 $t^2=\frac{b^4}{a^2}-c^2$．
若点 $C$ 存在，则 $t$ 为实数，$\frac{b^4}{a^2}-c^2\geqslant 0$，即 $b^2\geqslant ac$，亦即 $c^2-a^2\geqslant ac$，两边同除以 $a^2$，得 $e^2-1\geqslant e$，即 $e^2-e-1\geqslant 0$．因为 $e>0$，所以 $e\geqslant \frac{\sqrt{5}+1}{2}$．容易验证离心率是 $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ 的双曲线满足要求
【解析】
略
题目
答案
解析
备注
