设集合 $A=\{t\in\mathbb{R}~|~0<t<2\pi\}, B=\{(x,y)~|~x=\sin t, y=\sin 2t, t\in\mathbb{A}\}, C(r)=\{(x,y)~|~x^2+y^2\leqslant r^2\} (r>0)$．
若 $B\subset C(r)$，则 $r$ 的最小值是 ．
若 $B\subset C(r)$，则 $r$ 的最小值是
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(7)
【标注】
【答案】
$\frac{5}{4}$
【解析】
注意到 $B\subset C(r)\Rightarrow \sin^2t+\sin^22t\leqslant r^2\Rightarrow g(t)=\sqrt{\sin^2t+\sin^22t}\leqslant r$（$t\in A$）．
因此，$r$ 的最小值即为 $g(x)$ 在 $(0,2\pi)$ 上的最大值．而$$(g(t))^2=\sin^2t+\sin^22t=-\left(\cos2t+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{25}{16}\leqslant \frac{25}{16}$$当 $\cos2t=-\frac{1}{4}$ 时等号成立，故满足 $B\subset C(r)$ 的 $r$ 的最小值为 $\frac{5}{4}$．
因此，$r$ 的最小值即为 $g(x)$ 在 $(0,2\pi)$ 上的最大值．而$$(g(t))^2=\sin^2t+\sin^22t=-\left(\cos2t+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{25}{16}\leqslant \frac{25}{16}$$当 $\cos2t=-\frac{1}{4}$ 时等号成立，故满足 $B\subset C(r)$ 的 $r$ 的最小值为 $\frac{5}{4}$．
题目
答案
解析
备注
