在 $3\times 3$ 的方格表中填入 $9$ 个非负整数，每个小方格内恰填一个数．若数表中每一行和每一列的和都等于 $9$，则这样的填法一共有 种（用数字作答）．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(7)
【标注】
【答案】
$1540$
【解析】
设第 $i$ 行的 $3$ 个数从左到右分别为 $a_i,b_i,c_i$（$i=1,2,3$）．考虑方程 $x+y+z=9$，它有 $C^2_{11}$ 组非负整数解．于是，对于前两行，一共有 $(C_{11}^2)^2$ 种填法使得前两行的和都等于 $9$．此时，为使每一列的和都等于 $9$，第 $3$ 行的填法是唯一确定的．当第 $3$ 行可能有负数，易知负数至多一个，不妨设 $a_3<0$，则 $b_1+b_2+c_1+c_2=9+a_3$，其非负整数解 $(b_1,b_2,c_1,c_2)$ 的个数为$$\sum^{-1}_{a_3=-9}C_{12+a_3}^3=\sum^{11}_{k=3}C_k^3=C_{12}^4.$$所以满足要求的填法共有 $(C_{11}^2)^2-3C^4_{12}=1540$ 种．
题目
答案
解析
备注
