若定义域为 ${\mathbb{R}}$ 的函数 $f(x)$ 满足：存在与 $x$ 无关的正的常数 $M$，使 $\left| {f(x)} \right| \leqslant M\left| x \right|$ 对一切实数 $x$ 均成立，则称 $f(x)$ 为 $\ell $ 函数．给出下列函数：
① $f(x) = {\mathrm{e}^x}$；
② $f(x) = \sin x$；
③ $f(x) = \dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}}$；
④ $f(x) = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + x + 1}}$；
⑤ $f(x) = \dfrac{x}{{x + \dfrac{1}{x} + 1}}$；
⑥ $f(x)$ 是定义在 ${\mathbb{R}}$ 上的奇函数，且满足对于一切实数，均有 $\left| {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right| \leqslant 2\left| {{x_1} - {x_2}} \right|$ 成立．
其中属于 $\ell $ 函数的有 （填序号）．
① $f(x) = {\mathrm{e}^x}$；
② $f(x) = \sin x$；
③ $f(x) = \dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}}$；
④ $f(x) = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + x + 1}}$；
⑤ $f(x) = \dfrac{x}{{x + \dfrac{1}{x} + 1}}$；
⑥ $f(x)$ 是定义在 ${\mathbb{R}}$ 上的奇函数，且满足对于一切实数，均有 $\left| {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right| \leqslant 2\left| {{x_1} - {x_2}} \right|$ 成立．
其中属于 $\ell $ 函数的有
【难度】
【出处】
2013年清华大学夏令营数学试题
【标注】
【答案】
②③④⑥
【解析】
即 $f\left( 0 \right) = 0$，且 $\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}$ 有界．
对于 ①，$f\left( 0 \right) \neq 0$，不满足 $\ell $ 函数定义；
对于 ②，$|\sin x|\leqslant |x|$，取 $M=1$ 即可；
对于 ③，$|\frac{f(x)}{x}|=\frac{1}{x^2+x+1}\leqslant \frac{4}{3}$，取 $M=\frac{4}{3}$ 即可；
对于 ④，$|\frac{f(x)}{x}|=|\frac{x}{x^2+x+1}|=\frac{1}{|x+\frac{1}{x}+1|}\leqslant 1$，取 $M=1$ 即可；
对于 ⑤，⑤ 和 ④ 不同点在于 $x=0$ 处无定义，不满足 $\ell $ 函数定义；
对于 ⑥，由于 $f(x)$ 是奇函数，$f\left( 0 \right) = 0$，取 $x_2=0,M=2$ 即可。
故属于 $\ell$ 函数的有 ②③④⑥ 。
对于 ①，$f\left( 0 \right) \neq 0$，不满足 $\ell $ 函数定义；
对于 ②，$|\sin x|\leqslant |x|$，取 $M=1$ 即可；
对于 ③，$|\frac{f(x)}{x}|=\frac{1}{x^2+x+1}\leqslant \frac{4}{3}$，取 $M=\frac{4}{3}$ 即可；
对于 ④，$|\frac{f(x)}{x}|=|\frac{x}{x^2+x+1}|=\frac{1}{|x+\frac{1}{x}+1|}\leqslant 1$，取 $M=1$ 即可；
对于 ⑤，⑤ 和 ④ 不同点在于 $x=0$ 处无定义，不满足 $\ell $ 函数定义；
对于 ⑥，由于 $f(x)$ 是奇函数，$f\left( 0 \right) = 0$，取 $x_2=0,M=2$ 即可。
故属于 $\ell$ 函数的有 ②③④⑥ 。
题目
答案
解析
备注
