若关于 $a,b$ 的方程组$$\left\{\begin{aligned}
&a+3b-1=0,\\
&a^2+b^2-4a-6b+13-k=0.\\
\end{aligned}\right.$$有实数解，则实数 $k$ 的取值范围是 ．
&a+3b-1=0,\\
&a^2+b^2-4a-6b+13-k=0.\\
\end{aligned}\right.$$有实数解，则实数 $k$ 的取值范围是
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(9)
【标注】
【答案】
$[10,+\infty]$
【解析】
注意到 $a^2+b^2-4a-6b+13-k=0$，即$$(a-2)^2+(b-3)^2=k,$$故 $k\geqslant 0$．进而原方程组由实数解等价于，在坐标平面 $aOb$ 内，直线 $a+3b-1=0$ 与圆 $(a-2)^2+(b-3)^2=k$ 有公共点，即$$\sqrt{k}\geqslant \frac{|2+3\times 3-1|}{\sqrt{1+3^2}}=\sqrt{10},$$从而，$k\geqslant 10$．
题目
答案
解析
备注
