已知直线 $y=\frac{2\sqrt{5}}{5}x$ 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）交于 $A,B$ 两点．若在双曲线上存在点 $P$，使得 $|PA|=|PB|=\frac{\sqrt{3}}{2}|AB|$，则双曲线的离心率是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(9)
【标注】
【答案】
$\sqrt{3}$
【解析】
（法一）不妨设 $|OA|=1$，则 $|OP|=\sqrt{2}$．进而可设 $A$ 的坐标为 $(\cos\theta,\sin\theta)$，$P$ 的坐标为 $\left(\sqrt{2}\cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right), \sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\right)$，其中 $\tan\theta=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．这样就有$$\left\{\begin{aligned}
&\frac{\cos^2\theta}{a^2}-\frac{\sin^2\theta}{b^2}=1,\\
&\frac{\left(\sqrt{2}\cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\right)^2}{a^2}-\frac{\left(\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\right)^2}{b^2}=1.\\
\end{aligned}\right.$$即$$\left\{\begin{aligned}
&\frac{5}{9a^2}-\frac{4}{9b^2}=1,\\
&\frac{4}{9a^2}-\frac{5}{9b^2}=\frac{1}{2}.\\
\end{aligned}\right.$$解得 $a^2=\frac{1}{3}, b^2=\frac{2}{3}$．因此，双曲线的离心率为 $e=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{3}$．
（法二）显然点 $P$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上，考虑 $OP$ 与双曲线的另一个交点 $Q$，则 $PQ$ 的方程为 $y=-\frac{\sqrt{5}}{2}x$．联立直线 $y=kx$ 与双曲线的方程，得$$\left\{\begin{aligned}
&y=kx,\\
&b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2.\\
\end{aligned}\right.$$解得 $x^2=\frac{a^2b^2}{b^2-a^2k^2}$，于是$$\frac{|AB|^2}{|PQ|^2}=\frac{1}{2}=\frac{(1+k^2)\cdot\frac{a^2b^2}{b^2-a^2k^2}}{\left(1+\frac{1}{k^2}\right)\cdot \frac{a^2b^2}{b^2-a^2\left(-\frac{1}{k}\right)^2}},$$将 $k^2=\frac{4}{5}$ 代入整理得 $b^2=2a^2$，故双曲线的离心率为 $\sqrt{3}$．
&\frac{\cos^2\theta}{a^2}-\frac{\sin^2\theta}{b^2}=1,\\
&\frac{\left(\sqrt{2}\cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\right)^2}{a^2}-\frac{\left(\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\right)^2}{b^2}=1.\\
\end{aligned}\right.$$即$$\left\{\begin{aligned}
&\frac{5}{9a^2}-\frac{4}{9b^2}=1,\\
&\frac{4}{9a^2}-\frac{5}{9b^2}=\frac{1}{2}.\\
\end{aligned}\right.$$解得 $a^2=\frac{1}{3}, b^2=\frac{2}{3}$．因此，双曲线的离心率为 $e=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{3}$．
（法二）显然点 $P$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上，考虑 $OP$ 与双曲线的另一个交点 $Q$，则 $PQ$ 的方程为 $y=-\frac{\sqrt{5}}{2}x$．联立直线 $y=kx$ 与双曲线的方程，得$$\left\{\begin{aligned}
&y=kx,\\
&b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2.\\
\end{aligned}\right.$$解得 $x^2=\frac{a^2b^2}{b^2-a^2k^2}$，于是$$\frac{|AB|^2}{|PQ|^2}=\frac{1}{2}=\frac{(1+k^2)\cdot\frac{a^2b^2}{b^2-a^2k^2}}{\left(1+\frac{1}{k^2}\right)\cdot \frac{a^2b^2}{b^2-a^2\left(-\frac{1}{k}\right)^2}},$$将 $k^2=\frac{4}{5}$ 代入整理得 $b^2=2a^2$，故双曲线的离心率为 $\sqrt{3}$．
题目
答案
解析
备注
