已知 $a\in\mathbb{R}$，集合 $A=\{x\in\mathbb{R}~|~x^2+4ax+3\geqslant 0\}, B=\{x\in\mathbb{R}~|~x^2-2ax-6\leqslant 0\}$．若 $[-2,1]\subseteq A\cap B$，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(10)
【标注】
【答案】
$\left[-1,\frac{1}{2}\right]$
【解析】
由已知，当 $x\in[-2,1]$ 时，不等式 $x^2+4ax+3\geqslant 0, x^2-2ax-6\leqslant 0$ 均恒成立．
设 $f(x)=x^2+4ax+3=(x+2a)^2+3-4a^2$，由 $f(x)\geqslant 0$ 在 $[-2,1]$ 上恒成立，得$$f(-2a)\geqslant 0, -2\leqslant -2a\leqslant 1$$或$$f(-2) \geqslant 0, f(1)\geqslant 0, -2a<-2或-2a>1.$$解得 $a\in\left[-1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$．
设 $g(x)=x^2-2ax-6$，由 $g(x)$ 在 $[-2,1]$ 上恒成立，得 $g(-2)\leqslant 0, g(1)\leqslant 0$，解得 $a\in\left[-\frac{5}{2},\frac{1}{2}\right]$．
因此，$a$ 的取值范围是 $\left[-1,\frac{1}{2}\right]$．
设 $f(x)=x^2+4ax+3=(x+2a)^2+3-4a^2$，由 $f(x)\geqslant 0$ 在 $[-2,1]$ 上恒成立，得$$f(-2a)\geqslant 0, -2\leqslant -2a\leqslant 1$$或$$f(-2) \geqslant 0, f(1)\geqslant 0, -2a<-2或-2a>1.$$解得 $a\in\left[-1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$．
设 $g(x)=x^2-2ax-6$，由 $g(x)$ 在 $[-2,1]$ 上恒成立，得 $g(-2)\leqslant 0, g(1)\leqslant 0$，解得 $a\in\left[-\frac{5}{2},\frac{1}{2}\right]$．
因此，$a$ 的取值范围是 $\left[-1,\frac{1}{2}\right]$．
题目
答案
解析
备注
