现有一种特殊的正方体骰子，其 $6$ 个面上分别是数字 $1$ 到 $6$，且对任意 $1\leqslant k\leqslant 6$，掷出 $k$ 点个概率与 $k$ 成正比．现抛掷两颗这样的骰子，则这两颗骰子所示点数之和为 $7$ 的概率是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(10)
【标注】
【答案】
$\frac{8}{63}$
【解析】
对这种骰子，设掷出 $k$ 点的概率为 $p_k$（$1\leqslant k\leqslant 6$），则 $p_k=kp_1$（$1\leqslant k\leqslant 6$），结合 $p_1+p_2+\ldots+p_6=1$，可解得 $p_1=\frac{1}{21}$，故 $p_k=\frac{k}{21}$．
两个骰子分别出现 $1$ 点和 $6$ 点的概率为 $\frac{1}{21}\times \frac{6}{21}\times 2$，两个骰子分别出现 $2$ 点和 $5$ 点的概率为 $\frac{5}{21}\times \frac{5}{21}\times 2$，两个骰子分别出现 $3$ 点和 $4$ 点的概率为 $\frac{3}{21}\times \frac{4}{21}\times 2$．因此，这两颗骰子所示点数之和为 $7$ 的概率是$$\frac{1}{21}\times \frac{6}{21}\times 2+\frac{2}{21}\times\frac{5}{21}\times 2+\frac{3}{21}\times\frac{4}{21}\times\times 2=\frac{56}{441}=\frac{8}{63}.$$
两个骰子分别出现 $1$ 点和 $6$ 点的概率为 $\frac{1}{21}\times \frac{6}{21}\times 2$，两个骰子分别出现 $2$ 点和 $5$ 点的概率为 $\frac{5}{21}\times \frac{5}{21}\times 2$，两个骰子分别出现 $3$ 点和 $4$ 点的概率为 $\frac{3}{21}\times \frac{4}{21}\times 2$．因此，这两颗骰子所示点数之和为 $7$ 的概率是$$\frac{1}{21}\times \frac{6}{21}\times 2+\frac{2}{21}\times\frac{5}{21}\times 2+\frac{3}{21}\times\frac{4}{21}\times\times 2=\frac{56}{441}=\frac{8}{63}.$$
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