若实数 $a,b,c,d\in [-1,+\infty)$，且 $a+b+c+d=0$，则 $ab+bc+cd$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(10)
【标注】
【答案】
$\frac{5}{4}$
【解析】
若 $b\leqslant c$，则有$$\begin{aligned}
ab+bc+cd&=ab+bc-c(a+b+c)=a(b-c)-c^2\\
&\leqslant -(b-c)-c^2=-\left(c-\frac{1}{2}\right)^2-b+\frac{1}{4}\\
&\leqslant \frac{5}{4},\\
\end{aligned}$$等号当 $(a,b,c,d)=\left(-1,-1,\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$ 时取得．
若 $c\leqslant b$，则将 $a=-(b+c+d)$ 代入所求表达式，与上面的步骤类似得到$$ab+bc+cd\leqslant \frac{5}{4}.$$因此，所求最大值为 $\frac{5}{4}$．
ab+bc+cd&=ab+bc-c(a+b+c)=a(b-c)-c^2\\
&\leqslant -(b-c)-c^2=-\left(c-\frac{1}{2}\right)^2-b+\frac{1}{4}\\
&\leqslant \frac{5}{4},\\
\end{aligned}$$等号当 $(a,b,c,d)=\left(-1,-1,\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$ 时取得．
若 $c\leqslant b$，则将 $a=-(b+c+d)$ 代入所求表达式，与上面的步骤类似得到$$ab+bc+cd\leqslant \frac{5}{4}.$$因此，所求最大值为 $\frac{5}{4}$．
题目
答案
解析
备注
