设函数 $f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}$，则 $\displaystyle \sum^{2016}_{i=1}f\left(\frac{i}{2017}\right)$ ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(11)
【标注】
【答案】
$504$
【解析】
首先，由$$\begin{aligned}
f(x)&=x^3-\frac{3}{2}x+\frac{1}{8}\\
&=x^3+3\cdot x^2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+3\cdot x\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\right)^3+\frac{1}{4}\\
&=\left(x-\frac{1}{2}\right)^3+\frac{1}{4},\\
\end{aligned}$$知 $f(x)$ 的图像关于点 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$ 中心对称，即对任意 $x\in \mathbb{R}$，都有 $f(x)=f(1-x)=\frac{1}{2}$．因此，$$\sum^{2016}_{i=1}f\left(\frac{i}{2017}\right)=\frac{1}{2}\sum^{2016}_{i=1}\left(f\left(\frac{i}{2017}\right)+f\left(\frac{2017-i}{2017}\right)\right)=\frac{1}{2}\times 2016\times \frac{1}{2}=504.$$
f(x)&=x^3-\frac{3}{2}x+\frac{1}{8}\\
&=x^3+3\cdot x^2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+3\cdot x\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\right)^3+\frac{1}{4}\\
&=\left(x-\frac{1}{2}\right)^3+\frac{1}{4},\\
\end{aligned}$$知 $f(x)$ 的图像关于点 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$ 中心对称，即对任意 $x\in \mathbb{R}$，都有 $f(x)=f(1-x)=\frac{1}{2}$．因此，$$\sum^{2016}_{i=1}f\left(\frac{i}{2017}\right)=\frac{1}{2}\sum^{2016}_{i=1}\left(f\left(\frac{i}{2017}\right)+f\left(\frac{2017-i}{2017}\right)\right)=\frac{1}{2}\times 2016\times \frac{1}{2}=504.$$
题目
答案
解析
备注
