已知 $a\in\mathbb{R}$，若关于 $x$ 的方程 $x^2+\arcsin(\cos x)+a=0$ 恰有三个不同的实数根，则这三个根的集合是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(11)
【标注】
【答案】
$\{0,\pm 1\}$
【解析】
设 $f(x)=x^2+\arcsin(\cos x)+a$，则$$f(-x)=(-x)^2+\arcsin(\cos(-x))+a=x^2+\arcsin(\cos x)+a=f(x).$$故 $f(x)$ 是偶函数，则 $f(x)$ 的实根的相反数也是 $f(x)$ 的实根．由于 $f(x)$ 有三个不同的实根，故其中有一个为 $0$．
由 $f(0)=0$，得 $\arcsin(\cos 0)+a=0\Rightarrow a=-\arcsin 1=-\frac{\pi}{2}$．
（i）由 $\arcsin(\cos x)\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$，知当 $|x|\geqslant \pi$ 时，$f(x)\geqslant \pi^2-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}>0$．
（ii）当 $x\in(0,\pi)$ 时，$\frac{\pi}{2}-x\in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$，则$$\arcsin(\cos x)=\arcsin(\sin(\frac{\pi}{2}-x))=\frac{\pi}{2}-x,$$故$$f(x)=x^2+\frac{\pi}{2}-x-\frac{\pi}{2}=x(x-1).$$从而，$x=1$ 是 $f(x)$ 的唯一正根．
（iii）由 $f(x)$ 是偶函数，知 $f(x)$ 在 $(-\pi,0)$ 上有唯一负根 $x=-1$．
经验证，$x=0,\pm 1$ 都是原方程的根．因此，原方程的三个根的集合是 $\{0,\pm 1\}$．
由 $f(0)=0$，得 $\arcsin(\cos 0)+a=0\Rightarrow a=-\arcsin 1=-\frac{\pi}{2}$．
（i）由 $\arcsin(\cos x)\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$，知当 $|x|\geqslant \pi$ 时，$f(x)\geqslant \pi^2-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}>0$．
（ii）当 $x\in(0,\pi)$ 时，$\frac{\pi}{2}-x\in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$，则$$\arcsin(\cos x)=\arcsin(\sin(\frac{\pi}{2}-x))=\frac{\pi}{2}-x,$$故$$f(x)=x^2+\frac{\pi}{2}-x-\frac{\pi}{2}=x(x-1).$$从而，$x=1$ 是 $f(x)$ 的唯一正根．
（iii）由 $f(x)$ 是偶函数，知 $f(x)$ 在 $(-\pi,0)$ 上有唯一负根 $x=-1$．
经验证，$x=0,\pm 1$ 都是原方程的根．因此，原方程的三个根的集合是 $\{0,\pm 1\}$．
题目
答案
解析
备注
