若关于 $x$ 的方程 $x^3+ax^2-(1-a)^2=0$ 有三个不同的实根 $x_1,x_2,x_3$，且满足 $\frac{x_1}{x_2x_3}+\frac{x_2}{x_3x_1}+\frac{x_3}{x_1x_2}>\frac{3}{2}$，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(11)
【标注】
【答案】
$\left(\frac{3}{4},1\right)\cup (1,3)\cup (3,3+\sqrt{6})$
【解析】
一方面，由韦达定理可知$$\begin{aligned}
\frac{3}{2}&<\frac{x_1}{x_2x_3}+\frac{x_2}{x_3x_1}+\frac{x_3}{x_1x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2}{x_1x_2x_3}\\
&=\frac{(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)}{x_1x_2x_3}=\frac{a^2}{(1-a)^2},\\
\end{aligned}$$即$$a^2-6a+3<0,$$解得 $3-\sqrt{6}<a<3+\sqrt{6}$．
另一方面，由 $x^3+ax^2-(1-a)^2=(x-(1-a))(x^2+x+(1-a))$．知 $x=1-a$ 是原方程的一个根．于是，方程 $x^2+x+(1-a)=0$ 有两个不相等的实根，有$$\triangle =1-4(1-a)>0\Rightarrow a>\frac{3}{4}.$$同时，$x=1-a$ 也不是方程 $x^2+x+(1-a)=0$ 的根，即$$(1-a)^2+(1-a)+(1-a)\neq 0\Rightarrow a\neq 1,3.$$综上可知，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\frac{3}{4},1\right)\cup (1,3)\cup (3,3+\sqrt{6})$．
\frac{3}{2}&<\frac{x_1}{x_2x_3}+\frac{x_2}{x_3x_1}+\frac{x_3}{x_1x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2}{x_1x_2x_3}\\
&=\frac{(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)}{x_1x_2x_3}=\frac{a^2}{(1-a)^2},\\
\end{aligned}$$即$$a^2-6a+3<0,$$解得 $3-\sqrt{6}<a<3+\sqrt{6}$．
另一方面，由 $x^3+ax^2-(1-a)^2=(x-(1-a))(x^2+x+(1-a))$．知 $x=1-a$ 是原方程的一个根．于是，方程 $x^2+x+(1-a)=0$ 有两个不相等的实根，有$$\triangle =1-4(1-a)>0\Rightarrow a>\frac{3}{4}.$$同时，$x=1-a$ 也不是方程 $x^2+x+(1-a)=0$ 的根，即$$(1-a)^2+(1-a)+(1-a)\neq 0\Rightarrow a\neq 1,3.$$综上可知，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\frac{3}{4},1\right)\cup (1,3)\cup (3,3+\sqrt{6})$．
题目
答案
解析
备注
