一方面，考虑一个边长为 $1$ 的正 $360$ 边形，并对其进行适当旋转，使其每条边所在的直线的倾斜角分别为 $0.5^{\circ}, 1.5^{\circ}, 2.5^{\circ},\ldots$．从这个正 $360$ 边形最下面的顶点开始，沿顺时针方向将其所有边依次标记为 $1,2,\ldots, 360$．考虑其中第 $31$ 到第 $45$ 条边，它们的倾斜角依次是 $30.5^{\circ}, 31.5^{\circ}, \ldots, 44.5^{\circ}$．于是，对于联结第 $31$ 条边的起点到第 $45$ 条边的终点的线段，它在横轴上的投影长度为$$H=\cos 30.5^{\circ}+\cos 31.5^{\circ}+\ldots +\cos 44.5^{\circ}.$$在纵轴上的投影长度为$$V=\sin 30.5^{\circ}+\sin 31.5^{\circ}+\ldots +\sin 44.5^{\circ}.$$另一方面，设正 $360$ 边形的外接圆半径为 $R$，则$$H=R(\sin 45^{\circ}-\sin 30^{\circ}), V=R((1-\cos 45^{\circ})-(1-\cos 30^{\circ})).$$因此$$\frac{H}{V}=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6}.$$