若正方形 $ABCD$ 的一条边在直线 $y=2x-17$ 上，另外两个顶点在抛物线 $y=x^{2}$ 上，则该正方形面积的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
$80$
【解析】
设点 $C,D$ 在抛物线上，$C(x_1,x_1^2)$，$D(x_2,x_2^2)$
不妨设 $x_1<x_2$
因为 $CD \parallel AB$
所以 $k_{CD}=k_{AB}$，可得 $x_1+x_2=2$
由正方形 $ABCD$ 可得 $|BC|=|CD|$，
所以 $\dfrac{|2x_1-x_1^2-17|}{\sqrt5}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(x_1^2-x_2^2)^2}$
解得 $x_1=3,9,-1$ 或 $-7$
当 $x=3,9$ 时，$|BC|=4\sqrt5$
所以正方形面积最小值为 $80$．
不妨设 $x_1<x_2$
因为 $CD \parallel AB$
所以 $k_{CD}=k_{AB}$，可得 $x_1+x_2=2$
由正方形 $ABCD$ 可得 $|BC|=|CD|$，
所以 $\dfrac{|2x_1-x_1^2-17|}{\sqrt5}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(x_1^2-x_2^2)^2}$
解得 $x_1=3,9,-1$ 或 $-7$
当 $x=3,9$ 时，$|BC|=4\sqrt5$
所以正方形面积最小值为 $80$．
题目
答案
解析
备注
