已知 $a<0$，方程 $x^2-(2a+1)x+a+2=0$ 有虚根 $z$，且 $z^3\in\mathbb{R}$，则 $|z-\overline{z}|=$ ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(3)
【标注】
【答案】
$\sqrt{3}$
【解析】
由 $z^2=(2a+1)z-(a+2)$，得$$\begin{aligned}
z^3&=(2a+1)z^2-(a+2)z=(2a+1)((2a+1)z-(a+2))-(a+2)z\\
&=(4a^2+3a-1)z-(2a+1)(a+2).\\
\end{aligned}.$$再由 $z^3\in\mathbb{R}$，知 $4a^2+3a-1=0$，解得 $a=-1$（舍去正值）．此时，$z=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}, |z-\overline{z}|=\sqrt{3}$．
z^3&=(2a+1)z^2-(a+2)z=(2a+1)((2a+1)z-(a+2))-(a+2)z\\
&=(4a^2+3a-1)z-(2a+1)(a+2).\\
\end{aligned}.$$再由 $z^3\in\mathbb{R}$，知 $4a^2+3a-1=0$，解得 $a=-1$（舍去正值）．此时，$z=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}, |z-\overline{z}|=\sqrt{3}$．
题目
答案
解析
备注
