在锐角 $\triangle ABC$ 中，若 $\sin A=2\sin B\sin C$，则 $\tan A+2\tan B\tan C+\tan A\tan B\tan C$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(13)
【标注】
【答案】
$16$
【解析】
由 $\sin A=\sin (B+C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C$，得$$\sin B\cos C+\cos B\sin C=2\sin B\sin C,$$即$$\tan B+\tan C=2\tan B\tan C.$$在 $\triangle ABC$ 中，有$$\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C,$$于是$$\tan A\tan B\tan C=\tan A+2\tan B\tan C\geqslant 2\sqrt{\tan A\cdot 2\tan B\tan C},$$从而$$\tan A\tan B\tan C\geqslant 8.$$因此$$\begin{aligned}
\tan A+2\tan B\tan C+\tan A\tan B\tan C&=\tan A+\tan
B+\tan C+\tan A\tan B\tan C\\
&=2\tan A\tan B\tan C\geqslant 16.\\
\end{aligned}$$等号当 $\tan A=2\tan B\tan C$ 时取得．
经检验，当 $\tan A=4, \tan B=2+\sqrt{2}, \tan C=2-\sqrt{2}$ 时可以取得等号，因此所求的最小值是 $16$．
\tan A+2\tan B\tan C+\tan A\tan B\tan C&=\tan A+\tan
B+\tan C+\tan A\tan B\tan C\\
&=2\tan A\tan B\tan C\geqslant 16.\\
\end{aligned}$$等号当 $\tan A=2\tan B\tan C$ 时取得．
经检验，当 $\tan A=4, \tan B=2+\sqrt{2}, \tan C=2-\sqrt{2}$ 时可以取得等号，因此所求的最小值是 $16$．
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答案
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备注
