已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，且对任意 $n\in\mathbb{N^{\ast}}, a_{2n}=n-a_n, a_{2n+1}=a_n+1$．则 $a_1+a_2+\ldots+a_{100}=$ ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(13)
【标注】
【答案】
$1306$
【解析】
由 $a_n=n-a_{2n}, a_n=a_{2n+1}-1$，得$$a_{2n+1}+a_{2n}=n+1.$$从而$$a_1+a_2+\ldots+a_{99}=a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5)+\ldots+(a_{98}+a_{99})=1+2+3+\ldots +50=1275.$$又$$a_{100}=50-a_{50}=50-(25-a_{25})=25+a_{12}+1=26+(6-a_6)=32-(3-a_3)=29+(a_1+1)=31,$$所以$$a_1+a_2+\ldots+a_{100}=1275+31=1306.$$
题目
答案
解析
备注
