几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了"解数学题获取软件激活码"的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知数列 $1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,\cdots ,$ 其中第一项是 $2^0$，接下来的两项是 $2^0,2^1$，再接下来的三项是 $2^0,2^1,2^2$，依此类推．求满足如下条件的最小整数 $N$：$N>100$ 且该数列的前 $N$ 项和为 $2$ 的整数幂．那么该款软件的激活码是 \((\qquad)\)
已知数列 $1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,\cdots ,$ 其中第一项是 $2^0$，接下来的两项是 $2^0,2^1$，再接下来的三项是 $2^0,2^1,2^2$，依此类推．求满足如下条件的最小整数 $N$：$N>100$ 且该数列的前 $N$ 项和为 $2$ 的整数幂．那么该款软件的激活码是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年高考全国乙卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
分段考虑数列\[\begin{split}&1,\\
&1,2,\\
&1,2,4,\\
&\cdots,\\
&1,2,\cdots,2^{k-1},\\
&\cdots,\end{split}\]该数列的前 $1+2+\cdots+k=\dfrac {k(k+1)}2$ 项的和为$$S\left(\dfrac {k(k+1)}2\right)=1+(1+2)+\cdots+(1+2+\cdots+2^{k-1})=2^{k+1}-k-2.$$要使得 $\dfrac {k(k+1)}2>100$，有 $k\geqslant 14$，此时 $k+2<2^{k+1}$，所以 $k+2$ 是之后的等比数列 $1,2,\cdots,2^{k}$ 的部分和，也即$$k+2=1+2+\cdots+2^{s-1}=2^s-1,$$所以 $k=2^s-3\geqslant 14$，最小的 $s=5$，此时 $k=2^5-3=29$，对应最小的满足条件的$$N=\dfrac {29\cdot 30}2+5=440.$$
&1,2,\\
&1,2,4,\\
&\cdots,\\
&1,2,\cdots,2^{k-1},\\
&\cdots,\end{split}\]该数列的前 $1+2+\cdots+k=\dfrac {k(k+1)}2$ 项的和为$$S\left(\dfrac {k(k+1)}2\right)=1+(1+2)+\cdots+(1+2+\cdots+2^{k-1})=2^{k+1}-k-2.$$要使得 $\dfrac {k(k+1)}2>100$，有 $k\geqslant 14$，此时 $k+2<2^{k+1}$，所以 $k+2$ 是之后的等比数列 $1,2,\cdots,2^{k}$ 的部分和，也即$$k+2=1+2+\cdots+2^{s-1}=2^s-1,$$所以 $k=2^s-3\geqslant 14$，最小的 $s=5$，此时 $k=2^5-3=29$，对应最小的满足条件的$$N=\dfrac {29\cdot 30}2+5=440.$$
题目
答案
解析
备注
