若实数 $x>1$ 满足 $\log_2(\log_4x)+\log_4(\log_{16}x)+\log_{16}(\log_2x)=0$，则 $\log_2(\log_{16}x)+\log_{16}(\log_{4}x)+\log_4(\log_2x)=$ ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(5)
【标注】
【答案】
$-\frac{1}{4}$
【解析】
设$$A=\log_2(\log_4x)+\log_4(\log_{16}x)+\log_{16}(\log_2x),$$$$B=\log_2(\log_{16}x)+\log_{16}(\log_4x)+\log_4(\log_2x),$$则$$\begin{aligned}
B-A&=\log_2\left(\frac{\log_{16}x}{\log_4x}\right)+\log_4\left(\frac{\log_2x}{\log_{16}x}\right)+\log_{16}\left(\frac{\log_4x}{\log_2x}\right)\\
&=\log_2(\log_{16}4)+\log_4(\log_216)+\log_{16}(\log_42)\\
&=\log_2\frac{1}{2}+\log_44+\log_{16}\frac{1}{2}\\
&=(-1)+1+\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{4}.\\
\end{aligned}$$而 $A=0$，故 $B=-\frac{1}{4}$．
B-A&=\log_2\left(\frac{\log_{16}x}{\log_4x}\right)+\log_4\left(\frac{\log_2x}{\log_{16}x}\right)+\log_{16}\left(\frac{\log_4x}{\log_2x}\right)\\
&=\log_2(\log_{16}4)+\log_4(\log_216)+\log_{16}(\log_42)\\
&=\log_2\frac{1}{2}+\log_44+\log_{16}\frac{1}{2}\\
&=(-1)+1+\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{4}.\\
\end{aligned}$$而 $A=0$，故 $B=-\frac{1}{4}$．
题目
答案
解析
备注
