在 $\{1,2,\ldots,12\}$ 的非空子集中，满足最大元素与最小元素的和为 $13$ 的有 个．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(16)
【标注】
【答案】
$1365$
【解析】
设 $a$ 是某个满足条件的子集中的最小元素，则 $13-a$ 是其最大元素．该集合中的其他元素可从 $a+1, a+2, \ldots, (13-a)-1$ 这 $12-2a$ 个数中选取，共有 $2^{12-2a}$ 种取法．又由 $13-a\geqslant a$，知 $a<7$，故满足条件的子集个数为$$\sum^6_{a=1}2^{12-2a}=4^5+4^4+\ldots+4^0=\frac{4^6-1}{4-1}=\frac{4095}{3}=1365.$$
题目
答案
解析
备注
