若 $a,b,c$ 成等差数列，则直线 $ax+by+c=0$ 被椭圆 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{8}=1$ 截得线段的中点的轨迹方程为 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(16)
【标注】
【答案】
$2\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{(y+1)^2}{2}=1$
【解析】
由 $a-2b+c=0$ 知直线 $ax+by+c=0$ 过定点 $P(1,-2)$．又点 $P$ 在椭圆 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{8}=1$ 上，所以 $P$ 为所截线段的一个端点．设另一端点为 $Q(x_1,y_1)$，线段 $PQ$ 的中点为 $M(x,y)$，则$$\left\{\begin{aligned}
&x=\frac{x_1+1}{2},\\
&y=\frac{y_1-2}{2},\\
\end{aligned}\right.
\text{即}
\left\{\begin{aligned}
&x_1=2x-1,\\
&y_1=2y+2.\\
\end{aligned}\right.$$因为点 $Q(x_1,y_1)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{8}=1$ 上，所以$$\frac{(2x-1)^2}{2}+\frac{(2y+2)^2}{8}=1.$$故中点 $M$ 的轨迹方程为 $2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{(y+1)^2}{2}=1$．
&x=\frac{x_1+1}{2},\\
&y=\frac{y_1-2}{2},\\
\end{aligned}\right.
\text{即}
\left\{\begin{aligned}
&x_1=2x-1,\\
&y_1=2y+2.\\
\end{aligned}\right.$$因为点 $Q(x_1,y_1)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{8}=1$ 上，所以$$\frac{(2x-1)^2}{2}+\frac{(2y+2)^2}{8}=1.$$故中点 $M$ 的轨迹方程为 $2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{(y+1)^2}{2}=1$．
题目
答案
解析
备注
