若 $x,y,z$ 为正实数，则 $\frac{(x^2+y^2)^3+z^6}{2x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3}$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(16)
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
取 $x=y=1, z=\sqrt[3]{2}$，得 $\frac{(x^2+y^2)^3+z^6}{2x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3}=2$．
注意到$$\begin{aligned}
(x^2+y^2)^3+z^6&=(x^6+y^6+3x^4y^2+3x^2y^4)+z^6\\
&=(2x^4y^2+2x^2y^4)+(x^6+y^6+x^4y^2+x^2y^4)+z^6\\
&\geqslant 4x^3y^3+(x^3+y^3)^2+(z^3)^2\\
&\geqslant 4x^3y^3+2(x^3+y^3)z^3\\
&=4x^3y^3+2x^3z^3+2z^3y^3.\\
\end{aligned}$$故所求的最小值是 $2$．
注意到$$\begin{aligned}
(x^2+y^2)^3+z^6&=(x^6+y^6+3x^4y^2+3x^2y^4)+z^6\\
&=(2x^4y^2+2x^2y^4)+(x^6+y^6+x^4y^2+x^2y^4)+z^6\\
&\geqslant 4x^3y^3+(x^3+y^3)^2+(z^3)^2\\
&\geqslant 4x^3y^3+2(x^3+y^3)z^3\\
&=4x^3y^3+2x^3z^3+2z^3y^3.\\
\end{aligned}$$故所求的最小值是 $2$．
题目
答案
解析
备注
