已知正整数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}\geqslant 2a_n+1$，且对任意正整数 $n$，都有 $a_n<2^{n+1}$．则 $a_1$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(17)
【标注】
【答案】
$(0,3]$
【解析】
由 $a_{n+1}+1\geqslant 2(a_n+1)$，得 $a_n+1\geqslant (a_1+1)\cdot 2^{n-1}$，故$$(a_1+1)\cdot 2^{n-1}-1\leqslant a_n<2^{n+1}\Rightarrow a_1+1<\frac{2^{n+1}+1}{2^{n-1}}=4+\frac{1}{2^{n-1}} (n\in\mathbb{N^{\ast}}).$$故 $a_1+1\leqslant 4\Rightarrow 0<a_1\leqslant 3$．
题目
答案
解析
备注
