题目 设以椭圆的两个焦点为直径两端点的圆交椭圆于四个不同的点，这四个交点和椭圆的两个焦点恰好是一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为<nn> </nn>． 答案 $\sqrt{3}-1$ 解析 由 $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$ 及 $x^2+y^2=c^2$ 解得 $x^2=\frac{2a^2c^2-a^4}{c^2}$，再由 $|x|=c$，得$$\sqrt{\frac{2a^2c^2-a^4}{c^2}}=c,$$由此得 $e^4-8e^2+4=0$，解得 $e=\sqrt{3}-1$． 备注