若实数 $a,b$ 满足 $0<b\leqslant 3a$，且方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个不相等的实根，则 $\frac{a+b-c}{a}$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(17)
【标注】
【答案】
$(1,+\infty)$
【解析】
不妨设 $a=1$，则 $0<b\leqslant 3$．设 $\triangle =b^2-4c$，则 $\triangle >0$．
固定 $\triangle >0$，则$$1+b-c=1+b-\frac{b^2-\triangle}{4}=b-\frac{b^2}{4}+\frac{\triangle}{4}+1.$$当 $0<b\leqslant 3$ 时，上式的取值范围是 $(\frac{\triangle}{4}+1, \frac{\triangle}{4}+2]$．因为 $\triangle$ 可取一切正数，所以 $1+b-c$ 的取值范围是 $(1,+\infty)$．
固定 $\triangle >0$，则$$1+b-c=1+b-\frac{b^2-\triangle}{4}=b-\frac{b^2}{4}+\frac{\triangle}{4}+1.$$当 $0<b\leqslant 3$ 时，上式的取值范围是 $(\frac{\triangle}{4}+1, \frac{\triangle}{4}+2]$．因为 $\triangle$ 可取一切正数，所以 $1+b-c$ 的取值范围是 $(1,+\infty)$．
题目
答案
解析
备注
