当 $m\geqslant 2, n\geqslant 2$ 时，有 $6^m+2^n+2=2(3\times 6^{m-1}+2^{n-1}+1)$，显然不是完全平方数．
下面讨论 $m\leqslant 1$ 或 $n\leqslant 1$ 的情况．
当 $m=0$ 时，$6^m+2^n+2=2^n+3$．由于当 $n\geqslant 2$ 时，$2^n+3\equiv 3\pmod 4$，$2^n+3$ 不可能是完全平方数．故 $n=0$ 或 $1$．经检验，$(m,n)=(0,0)$ 满足条件．
当 $m=1$ 时，$6^m+2^n+2=2^n+8$．由于当 $n\geqslant 4$ 时，$2^n+8=8(2^{n-3}+1)$ 不可能为完全平方数，故 $n\in\{0,1,2,3\}$．经检验，$(m,n)=(1,0), (1,3)$ 满足条件．
当 $n=0$ 或 $1$ 时，类似可得 $(m,n)=(0,0),(1,0)$．
综上所述，满足条件的 $(m,n)$ 共有三组：$(0,0),(1,0),(1,3)$．