某食品厂制作了四种不同的卡片，在该厂生产的每包食品中随机装入一张卡片．现规定如果集齐一套卡片（四种不同的卡片各一张），便可兑换一只玩具，那么购买 $6$ 包食品后可以兑换到玩具的概率是 （用最简分数作答）．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(17)
【标注】
【答案】
$\frac{195}{512}$
【解析】
将购买的 $6$ 包食品依次拆开并阅读卡片，有 $4^6$ 种情况．
如果可以兑换到玩具，那么有如下两种情形．
\textbf{情形1：} 某种卡片有 $3$ 张，其他各 $1$ 张．这样的情况数为 $C_6^3\times 4!=480$．
\textbf{情形2：} 某两种卡片各 $2$ 张，其他各 $1$ 张．这样的情况数为 $\frac{C_6^2C_4^2}{2}\times 4!=1080$，其中 $\frac{C_6^2C_4^2}{2}$ 表示在 $6$ 个位置中选出两对位置（不计顺序）的方法数．
综上所述，所求的概率为 $\frac{480+1080}{4^6}=\frac{195}{512}$．
如果可以兑换到玩具，那么有如下两种情形．
\textbf{情形1：} 某种卡片有 $3$ 张，其他各 $1$ 张．这样的情况数为 $C_6^3\times 4!=480$．
\textbf{情形2：} 某两种卡片各 $2$ 张，其他各 $1$ 张．这样的情况数为 $\frac{C_6^2C_4^2}{2}\times 4!=1080$，其中 $\frac{C_6^2C_4^2}{2}$ 表示在 $6$ 个位置中选出两对位置（不计顺序）的方法数．
综上所述，所求的概率为 $\frac{480+1080}{4^6}=\frac{195}{512}$．
题目
答案
解析
备注
