在正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，$P$ 是棱 $A'B'$ 上的一个动点，过 $P,A,D'$ 和 $P,B,C'$ 作两个截面，则这两个截面分别与截面 $ABC'D'$ 所成的二面角的和的最小值是 （用弧度或反三角函数表示）．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(7)
【标注】
【答案】
$\pi-\arctan 2\sqrt{2}.$
【解析】
如图所示，设正方形棱长为 $1,E,F$ 分别是 $AD',BC'$ 的中点，联结 $EF$，则 $EF\perp BC'$．容易证明，$PC'=PB$，所以 $PF\perp BC'$．于是，$\angle PFE$ 是二面角 $P-BC'-A$ 的平面角，设为 $\alpha$．同理，$\angle PEF$ 是二面角 $P-AD'-B$ 的平面角，设为 $\beta$．
作 $PM\perp EF$，垂足为 $M$，则 $PM=B'F=\frac{\sqrt{2}}{2}, EM+FM=1$，所以$$\frac{\sqrt{2}}{2}(\cot\alpha+\cot\beta )=1\Rightarrow \cot\alpha+\cot\beta=\sqrt{2}.$$从而$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha+\cot\beta}{\cot\alpha\cot\beta-1}=\frac{\sqrt{2}}{\cot\alpha\cot\beta-1}\geqslant \frac{\sqrt{2}}{\frac{(\cot \alpha+\cot\beta)^2}{4}-1}=-2\sqrt{2}.$$其中等号当且仅当 $\cot\alpha=\cot\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时成立，此时 $\tan(\alpha+\beta)$ 有最小值 $-2\sqrt{2}$，即 $\alpha+\beta$ 的最小值是 $\pi-\arctan 2\sqrt{2}$．
作 $PM\perp EF$，垂足为 $M$，则 $PM=B'F=\frac{\sqrt{2}}{2}, EM+FM=1$，所以$$\frac{\sqrt{2}}{2}(\cot\alpha+\cot\beta )=1\Rightarrow \cot\alpha+\cot\beta=\sqrt{2}.$$从而$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha+\cot\beta}{\cot\alpha\cot\beta-1}=\frac{\sqrt{2}}{\cot\alpha\cot\beta-1}\geqslant \frac{\sqrt{2}}{\frac{(\cot \alpha+\cot\beta)^2}{4}-1}=-2\sqrt{2}.$$其中等号当且仅当 $\cot\alpha=\cot\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时成立，此时 $\tan(\alpha+\beta)$ 有最小值 $-2\sqrt{2}$，即 $\alpha+\beta$ 的最小值是 $\pi-\arctan 2\sqrt{2}$．
题目
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解析
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