在 $\triangle ABC$ 中，$A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $3a^2=c^2-b^2$，则 $\tan A\cdot \tan B$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(0,\dfrac 12\right)$
【解析】
根据题意，条件\[\begin{split} 3a^2=c^2-b^2&\Leftrightarrow 3\sin^2A=\sin^2C-\sin^2B\\ &\Leftrightarrow 3\sin^2(C+B)=\sin (C+B)\cdot \sin (C-B) \\ &\Leftrightarrow 3\sin(C+B)=\sin (C-B) \\&\Leftrightarrow 3\sin C\cos B+3\cos C\sin B=\sin C\cos B-\cos C\sin B \\ &\Leftrightarrow \tan C=-2\tan B,\end{split}\]于是$$\tan A\cdot \tan B=-\dfrac{\tan B+\tan C}{1-\tan B\cdot \tan C}\cdot \tan B=\dfrac{\tan^2 B}{1+2\tan^2 B},$$而 $\tan^2 B$ 的取值范围是 $\mathbb R^+$，因此所求代数式的取值范围是 $\left(0,\dfrac 12\right)$．
题目
答案
解析
备注
