已知函数 $f(x)=\cos \pi x, g(x)=2^xa-\frac{1}{2}$（$a\neq 0$）．若存在 $x_1,x_2\in[0,1]$，使得 $f(x_1)=g(x_2)$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(18)
【标注】
【答案】
$[-\frac{1}{2},0)\cup (0,\frac{3}{2}]$
【解析】
设 $F,G$ 分别为 $f(x),g(x)$ 定义在区间 $[0,1]$ 上的值域，则 $F=[-1,1]$，$$G=\left\{\begin{aligned}
&\left[a-\frac{1}{2},2a-\frac{1}{2}\right], \text{若}a>0;\\
&\left[2a-\frac{1}{2},a-\frac{1}{2}\right], \text{若}a<0.
\end{aligned}\right.$$于是，存在 $x_1,x_2\in[0,1]$，使得 $f(x_1)=g(x_2)$ 等价于 $F\cap G\neq \emptyset$，即等价于$$\left\{\begin{aligned}
&a>0,\\
&a-\frac{1}{2}\leqslant 1,\\
&2a-\frac{1}{2}\geqslant -1\\
\end{aligned}\right.
\text{或}
\left\{\begin{aligned}
&a<0,\\
&2a-\frac{1}{2}\leqslant 1,\\
&a-\frac{1}{2}\geqslant -1\\
\end{aligned}\right.$$$$\Leftrightarrow 0<a\leqslant \frac{3}{2}\text{或} -\frac{1}{2}\leqslant a<0.$$故 $a$ 的取值范围是 $[-\frac{1}{2},0)\cup (0,\frac{3}{2}]$．
&\left[a-\frac{1}{2},2a-\frac{1}{2}\right], \text{若}a>0;\\
&\left[2a-\frac{1}{2},a-\frac{1}{2}\right], \text{若}a<0.
\end{aligned}\right.$$于是，存在 $x_1,x_2\in[0,1]$，使得 $f(x_1)=g(x_2)$ 等价于 $F\cap G\neq \emptyset$，即等价于$$\left\{\begin{aligned}
&a>0,\\
&a-\frac{1}{2}\leqslant 1,\\
&2a-\frac{1}{2}\geqslant -1\\
\end{aligned}\right.
\text{或}
\left\{\begin{aligned}
&a<0,\\
&2a-\frac{1}{2}\leqslant 1,\\
&a-\frac{1}{2}\geqslant -1\\
\end{aligned}\right.$$$$\Leftrightarrow 0<a\leqslant \frac{3}{2}\text{或} -\frac{1}{2}\leqslant a<0.$$故 $a$ 的取值范围是 $[-\frac{1}{2},0)\cup (0,\frac{3}{2}]$．
题目
答案
解析
备注
